E). APLICACIONES


COCINAS SOLARES

Algo muy interesante que se aplica mucho en china y que ayuda a ahorrar gas, plata y esfuerzo son las cocinas solares parabólicas.
Constan de una pantalla parabólica que tiene material reflectante la cual esta sostenida por una estructura metálica que también sostiene un soporte para recipientes.

ANTENAS
Las ondas paralelas que recibe la antena se reflejan en ella y van a parar al foco.
Gracia a eso podemos ver la televisión por ejemplo

La encontramos en un objeto que puede ser una pelota lanzada al aire de manera oblicua u horizontal, formando movimiento parabólico, si la pelota sigue realizando saltos formara no una sino varias parábolas.

Se encuentra también  en los chorros de agua  que se forma en las fuentes que podemos encontrar en cualquier parte debido a la acción gravitatoria de la tierra.

Otro ejemplo es cuando un haz luminoso  de forma cónica se proyecta en la pared. 

recuperado de

http://www.paraquesirvematematica.comocreartuweb.es/aplicaciones/parabolas/parabolas.htm


Aplicaciones de la parábola en la vida cotidiana

https://prezi.com/u2jsazkrrm3s/aplicaciones-de-la-parabola-en-la-vida-cotidiana/

Arquímedes y el área de la parábola

CURIOSIDADES


Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada

(solomatematicas)

Referencia

solomatematicas. (s.f.). Recuperado el 2 de diciembre de 2014, de Las cònicas: http://conicas.solomatematicas.com/historia.aspx

Arquímedes y el área de la parábola

EL área del segmento de parábola, P se expresa en términos del área del triángulo inscrito T simplemente así P=43T .Arquímedes llegó a este resultado "viendo" geométricamente que el área de la parábola puede descomponerse en (o "agotarse" con) una suma infinita de  triángulos: además del inscrito de área T , dos de un octavo de ese área, cuatro de un sesentaycuatroavo, ...Es decir

 

P=T+2T8+4T64+...=T+T4+T16+..

Me dejé en el tintero electrónico la ilustración de cómo se agota la parábola, algo como esta bonita imagenTenemos el segmento de parábola, delimitado por la propia parábola y la cuerda AC . Su área se aproxima inicialmente por el área del triángulo inscrito ABC , que será el primer término de la "progresión de agotamiento". El punto medio de la cuerda AC es D . El proceso de agotar el segmento de parábola a base de sucesivos triángulos, más numerosos y más pequeños, presenta una simetría especular izquierda-derecha respecto de la línea BD . Entre el segmento de parábola y el triángulo ABC hay un par de huecos iguales a ambos lados del punto B Cada uno de estos huecos se rellena con sendos triángulos más pequeños, que juntos formarán el segundo término de la progresión de agotamiento.

 A la derecha tenemos el BHC , un triángulo con el mismo área que el triángulo DFC . La clave es que E es el punto medio entre D y C , por lo que el punto H sobre la parábola, por ser parábola, es tal que

BDIH=DC2DE2=4

 
 
Entonces HG=GF=FE , y los triángulos BHG ,CHG ,DFE y CFE tienen áreas iguales. El área de BHC , o de DFC , es un cuarto del área de BDC , un octavo del área de ABC . Pero es que al lado izquierdo tenemos otro octavo, con lo que como segundo término de la progresión de agotamiento obtenemos un área de un cuarto del primer término.

Solo queda repetir el proceso con los huecos que aún dejan BHC a la derecha y su imagen especular a la izquierda. Por la derecha tenemos dos partes, con dos triángulos, BLH y HRC , que junto a sus dos especulares amigos contribuyen al tercer término, que debería ser un cuarto del segundo. La verdad es que yo lo veía claro con el BLH , pues es una versión similar aunque reducida de la situación inicial, pero no tan obvio para el HRC . Tras liarme más de la cuenta, el fantasma de Apolonio me dió una colleja y caí en que una parábola menos una recta es ... otra parábola

.

En esta figura restando de la parábola azul la recta AC también azul, nos queda la versión "derecha" (en su mejor sentido de "erecta"), la parábola roja con la cuerda horizontal como base del segmento. Esto de paso sirve para comprender que el segmento parabólico y el triángulo inscrito pueden no estar derechos, como los azules, y que esa situación más general es reducible a la de segmentos de parábola derechos, como el rojo. El vértice de la parábola roja queda en la vertical del punto B de tangencia a la parábola azul de la paralela a la cuerda AC . En la parábola azul, esta cuerda AC y la cuerda infinita que parte de B y pasa por D son conjugadas, es decir, BD∞ corta por el punto medio a todas las cuerdas paralelas a AC , aunque estas cuerdas no hagan en este caso lo recíproco. Siempre la cuerda conjugada infinita es paralela al eje de la parábola.

Y ahora me toca aclarar (es un decir) eso de que Arquímedes "vió" cómo se agota la parábola con triángulos. Arquímedes demostró con total y pleno rigor, equiparable al de un Cauchy o un Weirstrass, el resultado P=43T , usando el método de exhaución, que consiste en aplicar un doble razonamiento por reducción al absurdo, para llegar a sendas contradicciones si se opta por la desigualdad de tales cantidades en uno  P<43T   u otro  P>43T   sentido, por lo que no queda otra que aceptar la igualdad.

La sucesión de triángulos inscritos que hemos visto se usa para uno de los razonamientos por reducción al absurdo. En esta demostración es clave la teoría de Eudoxo de la proporción, que Euclides recoge en el libro V de sus Elementos y concretamente el axioma de Eudoxo-Arquímedes, o de continuidad, definición 4 de ese libro:

Se dice que dos magnitudes tienen razón cuando se puede multiplicar una de ellas de modo que supere a la otra.

Entonces la menor, por muy pequeña que sea, repetida un número entero de veces suficientemente grande, puede llegar a sobrepasar a la mayor, por grande que se haya tomado. Que esto tan de cajón debe ser axioma, y no palmaria evidencia indiscutible, lo corrobora el que ¡hay cuerpos no arquimedianos! Estos matemáticos...

Junto a este axioma el otro apoyo clave del método de exhaución es la primera proposición del libro X de los Elementos, llamado a veces principio de Eudoxo:

Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se quita una magnitud mayor que su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad, y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada. En el caso de la parábola, Arquímedes demuestra que cada término sucesivo de suma de áreas de triángulos para agotar la parábola, supone más de la mitad de la diferencia entre el área de la parábola y lo ya "agotado" hasta entonces. Es contradictorio pues, un absurdo, suponer que P<43T , ya que con un número finito de términos, suficientemente grande, puedo cubrir con triángulos por el interior del segmento parabólico un área que se aproxime a  43T  tanto como se quiera, superando el presunto área P .

Referencia

Transito. (20 de febrero de 2013). Recuperado el 2 de diciembre de 2014, de http://javier-fg.blogspot.com/2013/02/arquimedes-y-el-area-de-la-parabola.HTML

 

 

 

EJERCICIOS

EJERCICIOS
graficar

Y=(X -2)^2  +1



Usamos Geogebra o también podemos usar una tabla de valores e ir colocando los puntos en el plano cartesiano y luego se unen.


Con Geogebra

Geogebra abre  con el plano cartesiano, en la parte de abajo, puedes escribir la función , así

 

 

luego das enter

 

 

 





ajustas para tener una imagen completa ya sea con la cruceta  en el extremo izquierdo de Geogebra o dándole vista grafica en  la rosquita dentada en el extremo derecho  puedes determinar los valores de x o y  si colocas el cursor en la curva , click derecho propiedades puedas hacer que aparezca la función en el grafico , en nombre y valor o cambiar el grosor del dibujo
darle color

Miremos lo que sucede cuando en el ejercicio anterior en vez de sumar 1 le restamos

se traslada hacia abajo  en una unidad por que le restaste 1

Ahora en vez de resta 2 dentro del paréntesis  sumemos y=(x+2)^2+1

Se desplazo hacia la izquierda

Una paràbola cuyo vertice esta en el origen y cuyo eje coincide

 

con el eje Y pasa por el punto (4, - 2). Hallar la ecuaciòn de la paràbola, las

coordenadas de su foco, la ecuaci6n de su directriz y la longitud de su lado recto.

Trazar la grafica correspondiente.

Soluciòn.la ecuacion de la paràbola es de la forma   x^2 =4py puesto que su eje coincide con el eje y a demás su vértice se encuentra en el origen

16=4(-2)p
16=-8p  entonces p=  16./-8=p    ;  p=  - 2  luego  

la ecuación es x^2=  -8y  se abre hacia abajo

LR=4p  =8 es una longitud por tanto es el valor absoluto
directriz y=-p  y =2

Hallar la ecuación de la parábola  de vértice en el origen y directriz la recta y - 5 = 0

p = -5   eje simétrico al eje y  luego la ecuación es  x^2 = 4(-5)y ; x^2 = -20y

 

 

 

 

Propuestos

 

Hallar la ecuaciòn de la paràbola de vertice en el origen y foco el punto

 

(0. - 3).

 

Hallar la ecuaciòn de la pardbola de vertice en el origen y directriz la recta  x +5= 0

 

 

 



TEORIA

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

  A estas formas se les llama ecuación general de la paràbola

 

(Jimènez, 2011)

Bibliografía

Jimènez, R. (2011). Matemàticas III. Mexico: PEARSON.

 TRASLACIONES

Traslación vertical

y = x² + k Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades. Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades. El vértice de la parábola es: (0, k). El eje de simetría x = 0.

 

eje de simetría x = 0.

y = x² +2 y = x² −2

 

 

 

Traslación horizontal

y = (x + h)² Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades. El vértice de la parábola es: (−h, 0). El eje de simetría es x = −h.

 

 

y = (x + 2)²y = (x − 2)²

 

 

 

Traslación oblicua

y = (x + h)² + k El vértice de la parábola es: (−h, k). El eje de simetría es x = −h. y = (x − 2)² + 2 y = (x + 2)² − 2



 

 

 

    (Matemàticas)

 

Bibliografía

 

 

 

 

Matemàticas. (s.f.). Recuperado el 1 de diciembre de 2014, de google site: https://sites.google.com/site/matematica331/traslacion-de-parabolas

Màs de la parábola

 

 

(tema 58)
Bibliografía

tema 58. (s.f.). Recuperado el 2 de Diciembre de 2014, de Logikamente ,los 84 temas: http://www.logikamente.com.ar/?page=Recursos::Los_84_temas

  

 

PREZIS


https://prezi.com/fvybmlm_3sgd/la-parabola/

https://prezi.com/kolapmti560t/la-parabola-ii/

BIOGRAFIAS


MENECMO

Menecmo fue un matemático griego y geómetra nacido en Alopeconnesus en el Quersoneso tracio, que era conocido por su amistad con el famoso filósofo Platón y por su aparente descubrimiento de las secciones cónicas y su solución al problema, entonces-de larga data de la duplicación del cubo el uso de la parábola y la hipérbola.

Vida y trabajo

Menecmo es recordado por los matemáticos de su descubrimiento de las secciones cónicas y su solución al problema de la duplicación del cubo. Menecmo probable descubrió las secciones cónicas, es decir, la elipse, la parábola, y la hipérbola, como un subproducto de la búsqueda de la solución para el problema de Delos. Menecmo sabía que en una parábola y = lx, donde l es una constante llamada al lado recto, aunque no era consciente del hecho de que cualquier ecuación con dos incógnitas determina una curva. Al parecer, deriva estas propiedades de las secciones cónicas y otros también. Usando esta información ahora era posible encontrar una solución al problema de la duplicación del cubo mediante la resolución de los puntos en los que dos parábolas se cruzan, una solución equivalente a resolver una ecuación cúbica.

Hay pocas fuentes directas de trabajo Menecmo; su trabajo sobre las secciones cónicas se conoce sobre todo a partir de un epigrama de Eratóstenes, y la realización de su hermano, Dinostrato, se conoce únicamente de los escritos de Proclo. Proclo también menciona que Menecmo fue enseñado por Eudoxo. Hay una curiosa afirmación de Plutarco en el sentido de que Platón desaprobó Menecmo logrando su solución cubo duplicado con el uso de dispositivos mecánicos, la prueba conocida actualmente parece ser exclusivamente algebraica.

Menecmo se decía que había sido el tutor de Alejandro Magno; esta creencia deriva de la siguiente anécdota: supuestamente, una vez, cuando Alejandro le pidió un acceso directo a la comprensión de geometría, él respondió: "¡Oh, rey, para viajar por el país, existen camino real y los caminos para los ciudadanos comunes, pero en la geometría no es un camino para todos ". Sin embargo, esta cita se atribuye primero a Stobaeus, alrededor de 500 dC, y por lo tanto Menecmo realmente enseñó Alexander es incierto.

Cuando él murió, precisamente es incierto y, aunque los eruditos modernos creen que finalmente expiró en Cícico

tomado de

http://centrodeartigo.com/articulos-noticias-consejos/article_139636.HTML



APOLONIO

(Apolonio de Perga o Perge; 262 a.J.C. - 180 a.J.C.) Matemático griego. Conocido con el sobrenombre de el Gran Geómetra, sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Acuñó los términos elipse, hipérbola y parábola, que responden a las respectivas propiedades matemáticas de estas tres funciones. También explicó el movimiento de los planetas según la teoría de los epiciclos.

Apolonio vivió largo tiempo en Alejandría, primero como discípulo y más tarde como profesor en la escuela de los sucesores de Euclides, escuela que recibió nuevo impulso del mismo Apolonio. Realizó numerosos viajes y residió también durante algún tiempo en Éfeso y en Pérgamo, a cuyo rey Atalo I (224-197) dedicó el cuarto libro de su tratado sobre las figuras cónicas

Apolonio de Pérgamo (Apolonio de Perga o Perge; 262 a.J.C. - 180 a.J.C.) Matemático griego. Conocido con el sobrenombre de el Gran Geómetra, sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Acuñó los términos elipse, hipérbola y parábola, que responden a las respectivas propiedades matemáticas de estas tres funciones. También explicó el movimiento de los planetas según la teoría de los epiciclos. Apolonio vivió largo tiempo en Alejandría, primero como discípulo y más tarde como profesor en la escuela de los sucesores de Euclides, escuela que recibió nuevo impulso del mismo Apolonio. Realizó numerosos viajes y residió también durante algún tiempo en Éfeso y en Pérgamo, a cuyo rey Atalo I (224-197) dedicó el cuarto libro de su tratado sobre las figuras cónicas. Apolonio Apolonio hizo con respecto a las figuras cónicas lo que Euclides había hecho un siglo antes en cuanto al círculo, y fue él quien dio a las secciones del cono las denominaciones todavía en uso: parábola, hipérbola, elipse. Aunque sólo cuatro de los ocho libros de que estaba compuesto hayan llegado a nosotros en la lengua original (poseemos otros tres en idioma árabe), el tratado es tan completo que habían de pasar siglos antes de que pudiera añadirse algo sobre el tema. Ya antes de Apolonio, las cónicas y sus propiedades eran conocidas por los griegos, según lo atestiguan la obra de Menecmo, Los lugares sólidos de Aristeo y muchos pasajes de Euclides y Arquímedes. Apolonio generalizó y extendió las investigaciones. Partiendo de un cono cualquiera, cortándolo con un plano cualquiera, llega a obtener las tres especies de cónicas que antes de él se consideraban como secciones del cono acutángulo, rectángulo y obtusángulo. Los primeros cuatro libros del tratado Las cónicas han llegado a nosotros en su texto original porque probablemente eran libros de texto en las escuelas griegas y alejandrinas. Los tres siguientes se conservaron durante el medioevo en una traducción árabe, y sólo el octavo libro, que según las declaraciones de Apolonio contenía la solución de los problemas concernientes a la materia tratada en el libro anterior, se ha perdido. El famoso astrónomo Halley, en la edición hecha por él de las obras de Apolonio (1710), se basó en las informaciones contenidas en los "lemas" dejados por Pappo en su Colección para dar una relación aproximada de este libro desaparecido

En conjunto, los libros sobre las cónicas pueden considerarse como una introducción a la geometría superior, porque en ellos encontramos nociones modernísimas como son los principios de la teoría de las polares o la generación de una cónica mediante haces de rayos proyectados (teorema de Steiner). La importancia de las cónicas en el sistema universal creció mucho con el descubrimiento de Kepler según el cual las órbitas planetarias son elípticas, ocupando el sol uno de los focos de la elipse. La obra de Apolonio, al reexaminarse hace tres siglos, dio origen a un gran desenvolvimiento de la geometría moderna.

Además de este libro, escribió otras obras sobre matemáticas: han llegado a nosotros, en versión árabe, dos libros sobre Divisiones de las proporciones, una obra sobre Tangencias y dos libros sobre Lugares planos. Entre los escritos perdidos se conocen los títulos de una obra sobre Resolución rápida y otra sobre espejos ustorios. Después de Arquímedes  Apolonio de Perga es el más profundo y original de todos los matemáticos griegos. Los antiguos le atribuyeron la invención de una forma especial de reloj solar y descubrimientos astronómicos precursores.

(Biografiasyvidas)

Referencias

Biografiasyvidas. (s.f.). Recuperado el 2 de Diciembre de 2014, de Apolonio: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/apolonio_de_pergamo.htm

 HISTORIA

- René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física.

Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica  Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica.

- Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón.. Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.

Referencia

Monografías(s,f) Recuperado 2 de diciembre de 2014, de Secciones Cònicas

 http://www.monografias.com/trabajos82/secciones-conicas-aplicaciones/secciones-conicas-aplicaciones.shtml#ixzz3KlX9KnGC

VIDEOS

 

La Parábola

 

 Es  el lugar geomètrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco  y la recta directriz de la paràbola

 

 

 

 

F es el foco, AD es la directriz. la recta que pasa por el foco y es perpendicular a  AD  se llama eje de la parábola

  Elementos de la parábola  

 

 

 



En la siguiente sección de teorías veremos las indicaciones para hallar los focos, los vértices, la ecuación de la directriz y otros elementos interesantes de la parábola

 

Referencia

 

 

Lehemann, c. (1989). Geometrìa Analitica . Mexico: LIMUSA.