CURIOSIDADES
Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada
(solomatematicas)
Referencia
solomatematicas. (s.f.). Recuperado el 2 de diciembre de 2014, de Las cònicas:
http://conicas.solomatematicas.com/historia.aspx
Arquímedes y el área de la parábola
EL área del segmento de parábola,
P se expresa en términos del área del triángulo inscrito T simplemente así
P=43T .Arquímedes llegó a este resultado "viendo" geométricamente que
el área de la parábola puede descomponerse en (o "agotarse" con) una
suma infinita de triángulos: además del
inscrito de área T , dos de un octavo de ese área, cuatro de un
sesentaycuatroavo, ...Es decir
P=T+2T8+4T64+...=T+T4+T16+..
Me dejé en el tintero electrónico la ilustración de cómo se
agota la parábola, algo como esta bonita imagenTenemos el segmento de parábola,
delimitado por la propia parábola y la cuerda AC . Su área se aproxima
inicialmente por el área del triángulo inscrito ABC , que será el primer
término de la "progresión de agotamiento". El punto medio de la cuerda
AC es D . El proceso de agotar el segmento de parábola a base de sucesivos
triángulos, más numerosos y más pequeños, presenta una simetría especular
izquierda-derecha respecto de la línea BD . Entre el segmento de parábola y el
triángulo ABC hay un par de huecos iguales a ambos lados del punto B Cada uno
de estos huecos se rellena con sendos triángulos más pequeños, que juntos
formarán el segundo término de la progresión de agotamiento.
A la derecha tenemos
el BHC , un triángulo con el mismo área que el triángulo DFC . La clave es que
E es el punto medio entre D y C , por lo que el punto H sobre la parábola, por
ser parábola, es tal que
BDIH=DC2DE2=4
Entonces HG=GF=FE , y los
triángulos BHG ,CHG ,DFE y CFE tienen áreas iguales. El área de BHC , o de DFC
, es un cuarto del área de BDC , un octavo del área de ABC . Pero es que al
lado izquierdo tenemos otro octavo, con lo que como segundo término de la progresión
de agotamiento obtenemos un área de un cuarto del primer término.
Solo queda repetir el proceso con los huecos que aún dejan
BHC a la derecha y su imagen especular a la izquierda. Por la derecha tenemos
dos partes, con dos triángulos, BLH y HRC , que junto a sus dos especulares
amigos contribuyen al tercer término, que debería ser un cuarto del segundo. La
verdad es que yo lo veía claro con el BLH , pues es una versión similar aunque
reducida de la situación inicial, pero no tan obvio para el HRC . Tras liarme
más de la cuenta, el fantasma de Apolonio me dió una colleja y caí en que una
parábola menos una recta es ... otra parábola
.
En esta figura restando de la
parábola azul la recta AC también azul, nos queda la versión
"derecha" (en su mejor sentido de "erecta"), la parábola
roja con la cuerda horizontal como base del segmento. Esto de paso sirve para
comprender que el segmento parabólico y el triángulo inscrito pueden no estar
derechos, como los azules, y que esa situación más general es reducible a la de
segmentos de parábola derechos, como el rojo. El vértice de la parábola roja
queda en la vertical del punto B de tangencia a la parábola azul de la paralela
a la cuerda AC . En la parábola azul, esta cuerda AC y la cuerda infinita que
parte de B y pasa por D son conjugadas, es decir, BD∞ corta por el punto medio
a todas las cuerdas paralelas a AC , aunque estas cuerdas no hagan en este caso
lo recíproco. Siempre la cuerda conjugada infinita es paralela al eje de la
parábola.
Y ahora me toca aclarar (es un
decir) eso de que Arquímedes "vió" cómo se agota la parábola con
triángulos. Arquímedes demostró con total y pleno rigor, equiparable al de un
Cauchy o un Weirstrass, el resultado P=43T , usando el método de exhaución, que
consiste en aplicar un doble razonamiento por reducción al absurdo, para llegar
a sendas contradicciones si se opta por la desigualdad de tales cantidades en
uno P<43T u otro
P>43T sentido, por lo que no
queda otra que aceptar la igualdad.
La sucesión de triángulos inscritos que hemos visto se usa
para uno de los razonamientos por reducción al absurdo. En esta demostración es
clave la teoría de Eudoxo de la proporción, que Euclides recoge en el libro V
de sus Elementos y concretamente el axioma de Eudoxo-Arquímedes, o de
continuidad, definición 4 de ese libro:
Se dice que dos magnitudes tienen razón cuando se puede
multiplicar una de ellas de modo que supere a la otra.
Entonces la menor, por muy pequeña que sea, repetida un
número entero de veces suficientemente grande, puede llegar a sobrepasar a la
mayor, por grande que se haya tomado. Que esto tan de cajón debe ser axioma, y
no palmaria evidencia indiscutible, lo corrobora el que ¡hay cuerpos no
arquimedianos! Estos matemáticos...
Junto a este axioma el otro apoyo clave del método de
exhaución es la primera proposición del libro X de los Elementos, llamado a
veces principio de Eudoxo:
Dadas dos magnitudes desiguales,
si de la mayor se quita una magnitud mayor que su mitad y, de la que queda, una
magnitud mayor que su mitad, y así sucesivamente, quedará una magnitud que será
menor que la magnitud menor dada. En el caso de la parábola, Arquímedes
demuestra que cada término sucesivo de suma de áreas de triángulos para agotar
la parábola, supone más de la mitad de la diferencia entre el área de la
parábola y lo ya "agotado" hasta entonces. Es contradictorio pues, un
absurdo, suponer que P<43T , ya que con un número finito de términos,
suficientemente grande, puedo cubrir con triángulos por el interior del
segmento parabólico un área que se aproxime a
43T tanto como se quiera,
superando el presunto área P .
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